Anhang zum II. Kapitel.
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steht, und daß wir einen Durchschnitt der beiden Höhen zu suchen haben,
die jedem Baume die gleiche Bedeutung gibt. Die Gruppe der zwanzig
niedrigen Bäume erhält hierbei die doppelte Bedeutung gegenüber der aus
den zehn hohen Bäumen bestehenden Gruppe. Wir geben jedem Baume
die gleiche Bedeutung, wenn wir das einfache arithmetische Mittel der
dreißig Bäume nehmen. Dieses einfache Mittel von dreißig Bäumen ist dann
der gewogene Durchschnitt der beiden Baumgruppen. Er wird gefunden,
wenn die sämtlichen Höhen addiert (zwanzig Höhen von zwei Metern und
zehn Höhen von acht Metern) und durch die Zahl der Bäume (20 + 10)
20 x 2 4-10 x 8
dividiert werden. Das heißt, die mittlere Höhe beträgt 20 + 10 = ^
(als Durchschnitt der beiden Gruppen betrachtet, anstatt desjenigen der
dreißig Bäume), und dies ist das gewogene arithmetische Mittel von 2 und 8;
darin ist die 2 zwanzigmal und die 8 zehnmal gewogen. Das gewogene Mittel
der beiden Gruppen bedeutet das einfache Mittel der dreißig Bäume. Mit
anderen Worten: wenn wir die verschiedenen Glieder, deren Durchschnitt
ermittelt werden soll, „wiegen“, so wird jedes dieser Glieder nicht mehr
einmal gezählt, sondern so, als ob das eine (sagen wir) zwanzig und das andere
(sagen wir) zehn bedeuten würde, wobei die Zahl, die angibt, wie oft ein
Glied gezählt wird, dessen „Gewicht“ bildet. Auf dieselbe Weise können
wir den gewogenen geometrischen und den gewogenen harmonischen Durchschnitt
bestimmen. Wenn wir das nämliche Beispiel der Bäume anwen-1
den, so finden wir die Ergebnisse S j/2 20 • 8 10 bzw. 3.175 und ^0(-)■) -(-10 (rj
30
oder 2f.
Das gleiche Ergebnis würden wir erhalten haben, wenn wir (statt 20
und 10) 2 und 1 als Gewichte genommen hätten.
Da es so viele verschiedene Arten von Durchschnitten gibt, müssen
wir uns die Frage vorlegen: Welche Bedeutung hat ein Durchschnitt oder
Mittelwert im allgemeinen? Die Antwort lautet: Jeder Durchschnitt einer
Anzahl von Gliedern muß durch eine mathematische Regel erlangt werden,
und zwar so, daß deren Durchschnitt auf eine Reihe gleichbedeutender Glieder
ungewandt, mit jedem einzelnen dieser Glieder gleichbedeutend ist. Eine
jede Regel ist zur Berechnung von Durchschnitten zulässig, die diese Bedingungen
erfüllt (nämlich die Bedingung, daß der Durchschnitt gleichbedeutender
Glieder mit jedem einzelnen Gliede gleichbedeutend sein muß).
Bekanntlich ist das einfache arithmetische Mittel A, von a, b und c,
A = Daß diese Formel der geforderten Probe entspricht, liegt
