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sie sich in ein Koordinatensystem, das das Alter als Abszisse hat,
eingetragen vor, dann läßt sich die Ausgleichungsaufgabe im allge-
meinen so formulieren, daß es eine Gerade zu legen gilt, welche so
wenig wie möglich von den angesetzten Punkten abweicht. Die
Methode der kleinsten Quadrate legt dies „so annähernd wie irgend
möglich“ in der Weise aus, daß, wenn die Gleichung der Geraden
y = Ax+B
ist, A und B so zu bestimmen sind, daß die Summe der 20 Quadrate
[Ax + B — a (x)]?
möglichst klein wird. Das unbestimmte „so annähernd wie irgend
möglich“ könnte indes z. B. auch so verstanden werden, daß A und B so
zu bestimmen sind, daß die Summe der Quadrate der 20 Entfernungen,
die man dadurch findet, daß von den 20 Punkten Senkrechte
auf die gesuchte Gerade gefällt werden, ein Minimum wird; es
würde zu weit führen, hier näher auf diese oder andere ähnliche
Methoden!) einzugehen; jedoch sei bemerkt, daß man im allgemeinen
bei beiden Methoden nicht ganz zu demselben Resultat gelangt.
264. Als Beispiel für die Anwendung der Methode der kleinsten
Quadrate können wir die oben behandelte Aufgabe über die Aus-
gleichung der Altersgliederung auf Grund der Volkszählung 1911
vornehmen; wir sehen dabei von dem übrigens nicht unwesentlichen
Umstande ab, daß die Fehler hier zum Teil systematischen Charakters
sind. Da die im $ 262 erwähnte Möglichkeit, «(x) nach einer Ge-
raden auszugleichen, eine Aufgabe ist, zu der wir weiter unten auf
allgemeinerer Basis zurückkehren, so wollen wir im Anschluß an die
im $ 258 vorgenommene Ausgleichung hier den Zusammenhang
zwischen dem Alter x und den entsprechenden Zahlen nach einer
Funktion zweiten Grades,
a(x) = a + bx + cx?,
auszugleichen suchen, wo man dann a, b und c so zu bestimmen
sucht, daß die Quadratsumme der 20 Abweichungen
a + bx + cx? — a(x)
so klein wie möglich wird.
Erhebt man diesen Ausdruck in die zweite Potenz, so ergibt sich
a? + bl.x? + c?.x1 + (a(x))? + 2abx + 2acx? — 2a a(x)
+ 2becx? — 2bxa(x) — 2ecx?a(x),
1) Vgl. E. C. Snow, On restriceted lines of eclosest fit ete. Philosophical
Magazine. Ser. 6. Vol. XXI. London 1911. 8. 367 £.
