221

Bezeichnet x die Anzahl weißer Kugeln (0 oder 1), welche man
erhält, wenn 1 Mal aus einem Beutel mit pN weißen und qN roten
Kugeln gezogen wird, so nimmt x mit den Wahrscheinlichkeiten
P: 7 Pı = PD
die Werte

X;

— 0

1
Xa —

an, und die Erwartung für x wird, wie oben ($ 123) gezeigt,
E (x) = p.
Die Abweichungen werden hiernach
a=0—p=-—Pp ud 4 =1—p=4q,
so daß man zur Bestimmung der Streuung
m, = E(a)= 31? -q + a?-p = pDg,
also u = Vm, = Vpq erhält (vgl. Aufg. 26).
Zieht man nun n Male (wirft mit n Münzen, Würfeln usw.)
und nennt man die Anzahl weißer Kugeln, welche man insgesamt
erhält, X. dann wird, wie oben ($ 138) erwähnt,
TFT X
X. entweder 0 oder 1 ist, so daß
E (X) = np.
Denkt man sich jede gezogene Kugel vor einer nächsten Ziehung
in den Beutel zurückgelegt, so daß die Wahrscheinlichkeit, eine
weiße Kugel zu erhalten, von Versuch zu Versuch unverändert pP
ist, dann wird die Streuung im Verteilungsgesetz für X
u=)|pq- + pq... (n Add.) = Ynpa.
Da die Streuung in dem binomialen Verteilungsgesetz, wie bereits
oben ($ 128) erwähnt, genau dieselbe wie der mittlere Fehler dieses
Verteilungsgesetzes ist, so wird im folgenden — in Übereinstimmung
mit dem auf diesem Gebiete üblichen Sprachgebrauch — denn auch
nicht zwischen den Ausdrücken Streuung und mittlerer Fehler (vgl.
S5 125) unterschieden werden.
Es sei bemerkt, daß das auf empirischem Wege gefundene
Quadratwurzelgesetz (vgl. $ 82) eine einfache Folge aus dem Satze
über den mittleren Fehler (Streuung) im Verteilungsgesetze für eine
Summe zufällig und unabhängig voneinander variierender Größen
ist. Werden nämlich zwei Gruppen zu je n Beobachtungen zu einer
Gruppe vereinigt, dann wird das Verteilungsgesetz für die Zahl der
zünstigen Ereignisse in einer solchen Gruppe den mittleren Fehler