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Die Anzahl der Punkte (Beobachtungen) sei n, und die Ko- 
ordinaten dieser Punkte seien mit 
(X; Yı), (X, Yo) ... (Xi, yı) ... (Xn, Yn) 
bezeichnet. Schreibt man zuerst die Gleichung der Geraden wie 
y'=ax+b, 
dann wird ax; + b im allgemeinen von y; abweichen, und man kann 
dann die Konstanten a und b so zu bestimmen suchen, daß die 
Wuadratsumme der n Abweichungen 
ax; + b— yi 
ein Minimum wird. 
Erhebt man diesen Ausdruck zur zweiten Potenz, dann ergibt sich 
ax? + b? + yı? + 2abx; — 2ax:yı — 2byi; 
werden hier nun allmählich für x; und yı die Koordinaten der ge- 
gebenen Punkte eingesetzt und danach die n Ausdrücke addiert, dann 
erhält man als Ausdruck für die Quadratsumme von Abweichungen 
folgendes Polynomium: 
a?3x? + nb? + 2y? + 2abIx — 2aZxy — 2bZy. 
Setzt man der Kürze halber 
3x? = A, 2y?=B, 3xy= CC, Xx=D, 3y=E, 
welche Summen sich alle aus den gegebenen Koordinaten (siehe weiter 
unten) finden lassen, dann erhält man den Ausdruck 
Aa? + nb? + B + 2Dab — 2Ca — 2Eb. 
Wird dieses Polynomium zuerst nach Potenzen von a und 
danach nach Potenzen von b geordnet, dann nimmt es folgende 
Formen an: 
Aa? + a(2Db — 2C) + nb? + B — 2Eb 
nb? + b(2Da — 2E) + Aa? + B — 2Ca. 
Diejenigen Werte von a und b, für welche die Quadratsumme 
ein Minimum wird, muß dann (vgl. oben $ 264) den Gleichungen 
AZ 2Db — 2C 
2A 
2Da — 2E 
D == — A 
In 
genügen, welche man ebenfalls wie folgt schreiben kann: 
Aa +Db= CC 
Da + nb = EEE, 
und hieraus findet man