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Die Anzahl der Punkte (Beobachtungen) sei n, und die Koordinaten
 dieser Punkte seien mit
(X; Yı), (X, Yo) ... (Xi, yı) ... (Xn, Yn)
bezeichnet. Schreibt man zuerst die Gleichung der Geraden wie
y'=ax+b,
dann wird ax; + b im allgemeinen von y; abweichen, und man kann
dann die Konstanten a und b so zu bestimmen suchen, daß die
Wuadratsumme der n Abweichungen
ax; + b— yi
ein Minimum wird.
Erhebt man diesen Ausdruck zur zweiten Potenz, dann ergibt sich
ax? + b? + yı? + 2abx; — 2ax:yı — 2byi;
werden hier nun allmählich für x; und yı die Koordinaten der gegebenen
 Punkte eingesetzt und danach die n Ausdrücke addiert, dann
erhält man als Ausdruck für die Quadratsumme von Abweichungen
folgendes Polynomium:
a?3x? + nb? + 2y? + 2abIx — 2aZxy — 2bZy.
Setzt man der Kürze halber
3x? = A, 2y?=B, 3xy= CC, Xx=D, 3y=E,
welche Summen sich alle aus den gegebenen Koordinaten (siehe weiter
unten) finden lassen, dann erhält man den Ausdruck
Aa? + nb? + B + 2Dab — 2Ca — 2Eb.
Wird dieses Polynomium zuerst nach Potenzen von a und
danach nach Potenzen von b geordnet, dann nimmt es folgende
Formen an:
Aa? + a(2Db — 2C) + nb? + B — 2Eb
nb? + b(2Da — 2E) + Aa? + B — 2Ca.
Diejenigen Werte von a und b, für welche die Quadratsumme
ein Minimum wird, muß dann (vgl. oben $ 264) den Gleichungen
AZ 2Db — 2C
2A
2Da — 2E
D == — A
In

genügen, welche man ebenfalls wie folgt schreiben kann:
Aa +Db= CC
Da + nb = EEE,

und hieraus findet man