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393 sie sich in ein Koordinatensystem, das das Alter als Abszisse hat, eingetragen vor, dann läßt sich die Ausgleichungsaufgabe im allge- meinen so formulieren, daß es eine Gerade zu legen gilt, welche so wenig wie möglich von den angesetzten Punkten abweicht. Die Methode der kleinsten Quadrate legt dies „so annähernd wie irgend möglich“ in der Weise aus, daß, wenn die Gleichung der Geraden y = Ax+B ist, A und B so zu bestimmen sind, daß die Summe der 20 Quadrate [Ax + B — a (x)]? möglichst klein wird. Das unbestimmte „so annähernd wie irgend möglich“ könnte indes z. B. auch so verstanden werden, daß A und B so zu bestimmen sind, daß die Summe der Quadrate der 20 Entfernungen, die man dadurch findet, daß von den 20 Punkten Senkrechte auf die gesuchte Gerade gefällt werden, ein Minimum wird; es würde zu weit führen, hier näher auf diese oder andere ähnliche Methoden!) einzugehen; jedoch sei bemerkt, daß man im allgemeinen bei beiden Methoden nicht ganz zu demselben Resultat gelangt. 264. Als Beispiel für die Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate können wir die oben behandelte Aufgabe über die Aus- gleichung der Altersgliederung auf Grund der Volkszählung 1911 vornehmen; wir sehen dabei von dem übrigens nicht unwesentlichen Umstande ab, daß die Fehler hier zum Teil systematischen Charakters sind. Da die im $ 262 erwähnte Möglichkeit, «(x) nach einer Ge- raden auszugleichen, eine Aufgabe ist, zu der wir weiter unten auf allgemeinerer Basis zurückkehren, so wollen wir im Anschluß an die im $ 258 vorgenommene Ausgleichung hier den Zusammenhang zwischen dem Alter x und den entsprechenden Zahlen nach einer Funktion zweiten Grades, a(x) = a + bx + cx?, auszugleichen suchen, wo man dann a, b und c so zu bestimmen sucht, daß die Quadratsumme der 20 Abweichungen a + bx + cx? — a(x) so klein wie möglich wird. Erhebt man diesen Ausdruck in die zweite Potenz, so ergibt sich a? + bl.x? + c?.x1 + (a(x))? + 2abx + 2acx? — 2a a(x) + 2becx? — 2bxa(x) — 2ecx?a(x), 1) Vgl. E. C. Snow, On restriceted lines of eclosest fit ete. Philosophical Magazine. Ser. 6. Vol. XXI. London 1911. 8. 367 £.