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d 
dx 
|/'(x) + x-f"{x)\ = 2f'{x) + x-f'"{x) 
stets dasselbe Vorzeicben, wie jener f" (ir), haben, so 
dass er also negativ sein muss, wenn die nrs])rUn^- 
licbe Kurve nach unten konkav gezeichnet ist. Diese 
Bedingung würde am sichersten erfüllt sein, wenn 
immer (a?) = 0, also f" (a?) konstant wäre ; doch 
hätten wir dann eine I^arabel mit vertikal nach ab 
wärts laufender Achse, also eine Kurve vor uns, die 
nicht durch vertikale Asymptoten begrenzt wäre. Wenn 
sonach f" (x) keineswegs immer = 0 sein kann, so 
muss dies aber doch wenigstens in Einem Punkte der 
Kurve J (x) der Fall sein. Um dies nachzuweisen, 
legen wir nacheinander an jeden Punkt der Kurve 
/(x) eine Parabel, welche eine vertikal nach unten 
gehende Achse hat und mit der Kurve /(x) eine Be 
rührung zweiter Ordnung eingeht, so dass ihr erster 
und zweiter 1 litferentiahpiotient = f (a-), bzw. /" (z), 
ist. Es ist nun klar, dass am rechten Ende der Kurve 
f{x) diese und die oskulirende Parabel sich derart 
schneiden müssen, dass die Kurve f{x) rechts tiefer 
und links höher liegt, während am linken Ende der 
Kuiwe f{x) das entgegengesetzte Verhältniss obwalten 
muss. Es ist also am rechten Ende der Kurve f{x) 
ihr dritter Differentiahiuotient algebraisch kleiner, am 
linken Ende aber grösser als jener der oskulirenden 
Parabel, und da letzterer immer = 0 ist, muss (a’) 
das einemal negativ, das anderemal jmsitiv sein. 
Daraus folgt, dass es in der Kurve f{x) mindestens 
Einen Punkt geben wird, wo f" (x) = 0 ist, wo also