447

)|

d
dx

|/'(x)  +  x-f"{x)\  =  2f'{x)  +  x-f'"{x)

stets  dasselbe  Vorzeicben,  wie  jener  f"  (ir),  haben,  so
dass  er  also  negativ  sein  muss,  wenn  die  nrs])rUn^-licbe
  Kurve  nach  unten  konkav  gezeichnet  ist.  Diese
Bedingung  würde  am  sichersten  erfüllt  sein,  wenn
immer  (a?)  =  0,  also  f"  (a?)  konstant  wäre  ;  doch
hätten  wir  dann  eine  I^arabel  mit  vertikal  nach  abwärts ­
  laufender  Achse,  also  eine  Kurve  vor  uns,  die
nicht  durch  vertikale  Asymptoten  begrenzt  wäre.  Wenn
sonach  f"  (x)  keineswegs  immer  =  0  sein  kann,  so
muss  dies  aber  doch  wenigstens  in  Einem  Punkte  der
Kurve  J  (x)  der  Fall  sein.  Um  dies  nachzuweisen,
legen  wir  nacheinander  an  jeden  Punkt  der  Kurve
/(x)  eine  Parabel,  welche  eine  vertikal  nach  unten
gehende  Achse  hat  und  mit  der  Kurve  /(x)  eine  Berührung ­
  zweiter  Ordnung  eingeht,  so  dass  ihr  erster
und  zweiter  1  litferentiahpiotient  =  f  (a-),  bzw.  /"  (z),
ist.  Es  ist  nun  klar,  dass  am  rechten  Ende  der  Kurve
f{x)  diese  und  die  oskulirende  Parabel  sich  derart
schneiden  müssen,  dass  die  Kurve  f{x)  rechts  tiefer
und  links  höher  liegt,  während  am  linken  Ende  der
Kuiwe  f{x)  das  entgegengesetzte  Verhältniss  obwalten
muss.  Es  ist  also  am  rechten  Ende  der  Kurve  f{x)
ihr  dritter  Differentiahiuotient  algebraisch  kleiner,  am
linken  Ende  aber  grösser  als  jener  der  oskulirenden
Parabel,  und  da  letzterer  immer  =  0  ist,  muss  (a’)
das  einemal  negativ,  das  anderemal  jmsitiv  sein.
Daraus  folgt,  dass  es  in  der  Kurve  f{x)  mindestens
Einen  Punkt  geben  wird,  wo  f"  (x)  =  0  ist,  wo  also