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2%

rectement l’optimalité des programmes réguliers maximaux
dans le cadre du modèle de RADNER.
Nous devons donc comparer le programme régulier maximal,
 que nous désignerons par #*, avec un programme possible
qui, à partir d’un certain horizon T, donne aux U,, c’est-à-dire
aux consommations C,, des valeurs au moins égales à celles
que leur donne Æ*. Nous avons déjà vu que, pour que cet
autre programme donne une valeur supérieure à ÜU,, il fallait
qu'il donne une valeur plus faible à Sr. Le problème consiste
donc à trouver la réponse à la question suivante: Est-il possible
 d'obtenir, au moins à partir d’une certaine époque T, la
suite des consommations Cr, Cr;, … ad infinitum, à partir
d'un stock de bien S, plus faible que S;? Si la réponse est
négative, nous savons que Æ* est optimal. Si elle est affirmative,
 nous savons que Æ* n’est pas optimal, car on améliorerait
ce programme en augmentant la consommation de Sy - Sr pendant
 la période T, sans la modifier dans aucune autre période.
Pour répondre à cette question, considérons la relation qui
existe entre les variations à K, et à K,,, du capital lorsque l’on
passe du programme Æ* à un autre programme possible
#* +8 M qui assure la même consommation C;,, dans la période
 #+1. Plaçons-nous dans le cas où à K, est négatif.
Partons de l'égalité suivante qui exprime la condition d’équilibre
 à l’instant +1:

50)

8,1 =h KP

Comme la dérivée seconde de KP est croissante et que & K, est
négatif, nous pouvons écrire:

(51) OK ,41 = 98,41 =< BA, uv KB-1 3K, + ' Ce D h, vu K8-*(3K,)?

[5] Malinvaud - pag. 40