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Anhang  zum  X.  Kapitel.

den  Wert  einer  gegebenen  Menge  keinerlei  Einfluß  aus.  Folgende  Umformung ­
  zeigt,  daß  die  Formel  ein  gewogenes  arithmetisches  Mittel  ist:
^ViQi  __  P1Q1  +  v'iQi-\
^VoQi  PoQi  +  pöQi  4

VoQi  +  PoQi  H

Die  letzte  Formel  ist  offenbar  ein  gewogener  arithmetischer  Durchschnitt ­
  der  Preisverhältnisse  in  den  Klammern;  und  deren  Gewichte  sind
p 0 Qi,  PoQi  usw.,  d.  h.  es  sind  die  Werte  der  Quantitäten  des  Jahres  1,
berechnet  zu  den  Preisen  des  Jahres  0.
Dieselbe  Formel  ist  aber  auch  ein  harmonischer  Durchschnitt,  was
ersichtlich  wird,  wenn,  wie  dies  bei  Formel  (1)  geschah,  anstatt  des  Zählers
der  Nenner  umgeformt  wird.  Sie  ist  ein  gewogener  harmonischer  Durchschnitt, ­
  dessen  Gewichte  PiQ t ,  p[Q[  usw.,  oder  die  Werte  des  Jahres  1  sind.
Kurz,  Formel  (11)  oder  ist,  wie  Formel  (1),  sowohl  ein  gewogener
  arithmetischer  als  auch  ein  gewogener  harmonischer  Durchschnitt ­
  von  -- 1 -,  ”,  usw.,  doch  sind  die  Gewichte  in  beiden  Fällen  ver-Po
  Po  Po
schieden.
Formel  (11)  besitzt  die  interessante  Eigenart,  daß  ihre  Antithese  (12)
dieselbe  Form  hat,  nur  mit  dem  Unterschiede,  daß  die  Q  nunmehr  mit  dem
Index  0  anstatt  mit  1  bezeichnet  sind.  Eine  ähnliche  Folgerung  zeigt,
daß  diese  Formel  (12)  ebenfalls  sowohl  ein  arithmetischer  als  auch  ein
harmonischer  Durchschnitt  ist,  der  je  nach  den  Gliedern  seines  Nenners
bzw.  Zählers  gewogen  wurde.
Diese  beiden  Formeln  (11)  und  (12)  scheinen  bei  den  Autoren  über
Indexziffern  sehr  beliebt  zu  sein.  Da  die  Mängel  der  einen  Formel  in  gewissen ­
  Fällen  keinesfalls  Mängel  der  anderen  sind,  so  wurden  viele  Versuche
gemacht,  sie  in  eine  einzige  zu  verschmelzen.  So  ist  zum  Beispiel  Nr.  (18) x )
deren  einfacher  arithmetischer  Durchschnitt.  Die  Antithese  von  (13),  nämlich ­
  (14),  erweist  sich  als  einfacher  harmonischer  Durchschnitt  von  (11)  und
(12).  Die  Formel  (15)  ist  der  einfache  geometrische  Durchschnitt  von  (11)  und
(12)  und  ist  mit  ihrer  eigenen  Antithese  (16)  identisch.  Die  Formel  (17),
(19),  (21)  und  (23)  stellen  weitere  Versuche  einer  Vereinigung  der  Formeln
1 )  Literaturnachweis  über  diese  und  viele  andere  der  übrigen  Formeln  der  Tabelle
(Kolonne  13  44)  siehe  Walsh,  Measurement  of  General  Exchange-Value,  S.  386  bis  388,